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Eine geometrische Reihe ist die Reihe ${\displaystyle \textstyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}}$ einer geometrischen Folge ${\displaystyle a_{n}}$, sodass also zwei aufeinanderfolgende Reihenglieder stets dasselbe Verhältnis haben. Die Bezeichnung weist darauf hin, dass jeder Summand das geometrische Mittel aus Vorgänger und Nachfolger ist. Ein Beispiel einer geometrischen Reihe ist ${\displaystyle 1+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{8}}+{\tfrac {1}{16}}+\cdots }$ mit Reihenwert ${\displaystyle 2}$. Ganz allgemein besitzt sie die Gestalt ${\displaystyle a+aq+aq^{2}+aq^{3}+\cdots }$ mit einem Vorfaktor ${\displaystyle a}$ und dem gemeinsamen Verhältnis ${\displaystyle q\not =0}$. In der Literatur wird jedoch häufig schlicht ${\displaystyle a=1}$ gesetzt. Bei geometrischen Reihen handelt es sich um Reihen „besonders einfacher Bauart“. In der Mathematik, besonders der Analysis, hat dies große Vorteile. Soll etwa eine bestimmte unendliche Reihe analysiert werden, die komplizierte Eigenschaften hat, so kann sie manchmal durch eine geometrische Reihe „imitiert“ werden, und diese Vereinfachung ermöglicht es schließlich doch, Aussagen zu treffen. Diese „Imitation“ ist zum Beispiel bezüglich allgemeiner Potenzreihen hinsichtlich Fragen der Konvergenz „fast perfekt“, was schließlich zum Begriff des Konvergenzradius führt, einer sehr aussagekräftigen Kenngröße dieser Reihen und damit der Funktionentheorie im Allgemeinen. – Zum Artikel …

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